Primitives et intégrales

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb R\) par \(f(x)=3x^2\).
Par ailleurs, on définit la fonction \(F\) définie sur \(\mathbb R^+\) telle que \(F(t)\) désigne l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine `\mathcal D` délimité par l'axe des abscisses, la courbe représentative de \(f\) et les droites d'équations \(x=0\) et \(x=t\) pour \(t\geqslant0\).

Partie A : conjectures

Le fichier de géométrie dynamique suivant montre la courbe représentative de la fonction \(f\) ainsi que la droite d'équation \(x=t\). Il affiche également l'aire, `F(t)`, du domaine `\mathcal D`.

1. Compléter le tableau suivant.

\(\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline t & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5&6&7&8&9&10 \\\hline F(t) & & \\\hline\end{array}\)
2. Conjecturer le signe et les variations de la fonction \(F\) ainsi qu'une expression possible de \(F(t)\) pour tout réel \(t\) positif.
3. Calculer la primitive de la fonction \(f\) qui s'annule en \(x=0\) et conjecturer un lien entre primitive de \(f\) et aire du domaine `\mathcal D`.

Partie B : démonstration

On veut démontrer que `F` est une primitive de `f`, autrement dit on veut montrer que, pour tout `t` réel positif, `F'(t)=f(t)`.

Pour ce faire, on suit le protocole suivant :

• on calcule le taux de variation de la fonction \(F\) entre \(t\) et \(t+h\) pour \(\)\(h\) et \(t\in\mathbb R^+\) : \(T_h(t)=\dfrac{F(t+h)-F(t)}{h}\) ;
• on détermine la dérivée de la fonction \(F\) en calculant la limite, lorsque \(h\) tend vers \(0\), du taux de variation : \(F'(t)=\lim\limits_{h\rightarrow0}T_h(t)\) pour tout \(t\geqslant0\) ;  
• on compare, pour tout \(t\) positif, \(F'(t)\) et \(f(t)\) et on conclut.

En suivant ce protocole, essayer de réaliser la démonstration attendue.

Par la suite on reprend point par point la démonstration.
1. Soit \(t\) un réel positif et \(h\) un réel strictement positif. La figure suivante montre, dans un repère orthogonal, la courbe représentative de la fonction \(f\) ainsi que les droites d'équations \(x=t\) et \(x=t+h\).

    a. Identifier graphiquement \(F(t+h)-F(t)\).    
    b. En utilisant la méthode des rectangles, établir, pour tout \(t\in\mathbb R^+\), \(h\times 3t^2\leqslant F(t+h)-F(t) \leqslant h\times 3(t+h)^2\).    
    c. Établir  \(3t^2\leqslant T_h(t) \leqslant 3(t+h)^2\).

 2. Pour calculer la dérivée de la fonction \(F\), on peut réaliser l'encadrement suivant :  \(\lim\limits_{h\rightarrow0}3t^2\leqslant \lim\limits_{h\rightarrow0}T_h(t)\leqslant\lim\limits_{h\rightarrow0}3(t+h)^2\) pour tout \(t\geqslant0\).  
Quelle peut être l'expression de \(F'(t)\) pour tout \(t\geqslant0\) ? Donner l'expression de \(F(t)\).

3. Conclure.

Partie C : bilan et application

On vient de démontrer que l'aire du domaine `\mathcal D` délimité par l'axe des abscisses, la courbe représentative de \(f\) et les droites d'équations \(x=0\) et \(x=t\) pour \(t\geqslant0\) est \(F(t)\) où \(F\) est la primitive de \(f\) qui s'annule en \(0\).
Utiliser ce résultat pour calculer l'aire du domaine `\mathcal D` délimité par l'axe des abscisses, la courbe représentative de la fonction \(g\) définie pour tout réel \(x\) positif par \(g(x)=x^3\) et les droites d'équations \(x=0\) et \(x=2\).